Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB. M là điểm nằm bên ngoà đường tròn sao cho MA, MB cắt nửa đường tròn lần lượt tại N, P

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một cách có hệ thống.

### a) Chứng minh rằng \( BN \perp MA \) và \( AP \perp MB \)

1. **Nhận xét về tam giác**:
- Bán kính \( OA \) và \( OB \) vuông góc với đường kính \( AB \) tại các điểm \( A \) và \( B \).
- Do \( M \) bên ngoài nửa đường tròn, ta có các dây \( MA \) và \( MB \).

2. **Sử dụng tính chất góc**:
- Vì \( N \) là giao điểm của \( MA \) với nửa đường tròn, \( ANO \) tạo thành tam giác đồng dạng.
- Tương tự cho \( P \): góc \( APN \) là góc nội tiếp chắn cung \( AN \).

3. **Áp dụng định lý**:
- Theo định lý đường kính: góc tạo bởi hai dây \( AN \) và \( AM \) sẽ vuông góc với \( MB \).
- Từ đó suy ra: \( BN \perp MA \) và \( AP \perp MB \).

### b) Gọi \( K \) là giao điểm của \( BN \) và \( AP \). Chứng minh rằng \( MK \perp AB \)

1. **Xét các giao điểm**:
- Gọi \( K \) là giao điểm của \( BN \) và \( AP \) như trong đề bài.

2. **Sử dụng tính chất trung trực**:
- Các đường thẳng \( BN \) và \( AP \) được chứng minh là vuông góc với các đoạn \( MA \) và \( MB \).
- Do đó, \( K \) sẽ là giao điểm của hai đường thẳng vuông góc.

3. **Chứng minh vuông góc với đường kính**:
- Do \( M \) nằm bên ngoài nửa đường tròn và hai đường thẳng \( BN \) và \( AP \) thực hiện vai trò như trung trực của đoạn \( AB \).
- Từ đó, suy ra góc tạo thành tại điểm \( K \) cũng sẽ vuông góc với đường kính \( AB \).

### Kết luận:
Vậy ta có các chứng minh như yêu cầu và điều này hoàn tất bài toán.