Cho đường tròn (O), đường kính MN. Trên đường tròn (O) lấy điểm I. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt nhau ở K

Để giải bài toán này, ta làm theo từng phần yêu cầu:

### a) (2.5 điểm)

Chứng minh ba điểm \( M, K, I \) cùng nằm trên một đường tròn:

- Điểm \( M \) là một điểm trên đường tròn \( (O) \).
- Điểm \( K \) là giao điểm của hai tiếp tuyến tại \( A \) và \( B \), nên \( KA \) và \( KB \) đều bằng bán kính đường tròn \( (O) \).
- Điểm \( I \) nằm trên đường tròn \( (O) \).

Ta có \( \angle KAI = \angle KBI = 90^\circ \) (do tính chất tiếp tuyến), nên \( \angle KAI + \angle KBI = 180^\circ \). Vậy \( M, K, I \) nằm trên cùng một đường tròn với đường kính là \( KI \) (theo định lý đường kính).

### b) (1.0 điểm)

Chứng minh \( KO \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( MI \):

- \( O \) là tâm của đường tròn, và theo tính chất của tiếp tuyến, ta có \( OA \perp KA \) và \( OB \perp KB \).
- Vì vậy, \( KO \) vuông góc với \( MI \).
- Hơn nữa, \( K \) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \( MI \), tức là \( KM = KI \).

### c) (0.5 điểm)

Chứng minh \( KN \) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \( MN \):

- \( N \) là điểm đối diện của \( M \) trên đường tròn, và theo tính chất đối xứng qua tâm \( O \), ta có \( N \) là đối xứng của \( I \) qua đường thẳng \( KO \).
- Vậy trung điểm của \( MN \) chính là hình chiếu của \( K \) trên đường thẳng \( MI \).
- Điều này chứng minh rằng \( KN \) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \( MN \).

Vậy là ta đã hoàn thành tất cả các yêu cầu của bài toán.