.Cho ( a, b, c ) là các số thực dương thỏa mãn abc = 1Chứng minh rằng:

Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{1}{a+b+4} + \frac{1}{b+c+4} + \frac{1}{c+a+4} \leq \frac{1}{2} \) với điều kiện \( abc = 1 \) và \( a, b, c > 0 \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Áp dụng Cauchy-Schwarz cho ba phân thức trên, ta có:

\[
\left( \frac{1}{a+b+4} + \frac{1}{b+c+4} + \frac{1}{c+a+4} \right) \left( (a+b+4) + (b+c+4) + (c+a+4) \right) \geq (1 + 1 + 1)^2 = 9
\]

Tính tổng:

\[
(a+b+4) + (b+c+4) + (c+a+4) = 2(a+b+c) + 12
\]

Gọi \( S = a+b+c \). Như vậy, ta có:

\[
\left( \frac{1}{a+b+4} + \frac{1}{b+c+4} + \frac{1}{c+a+4} \right) (2S + 12) \geq 9
\]

Suy ra:

\[
\frac{1}{a+b+4} + \frac{1}{b+c+4} + \frac{1}{c+a+4} \geq \frac{9}{2S + 12}
\]

Để chứng minh \( \frac{9}{2S + 12} \leq \frac{1}{2} \), ta cần chứng minh:

\[
18 \leq 2S + 12
\]

Khi đó, điều này tương đương với:

\[
2S \geq 6 \quad \Rightarrow \quad S \geq 3
\]

Theo điều kiện \( abc = 1 \) và việc sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\[
S = a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{abc} = 3
\]

Từ đó, ta khẳng định rằng bất đẳng thức đã chứng minh là đúng. Vậy:

\[
\frac{1}{a+b+4} + \frac{1}{b+c+4} + \frac{1}{c+a+4} \leq \frac{1}{2}.
\]

Vậy là ta đã chứng minh thành công bất đẳng thức đã nêu.