Cho ( x, y, z ) là các số thực dương thỏa mãn ( xyz = 1 ). Chứng minh rằng:

Để chứng minh bất đẳng thức đã cho:

\[
18\left(\frac{1}{x^3+1} + \frac{1}{y^3+1} + \frac{1}{z^3+1}\right) \leq (x+y+z)^3
\]

với điều kiện \( xyz = 1 \) và \( x, y, z > 0 \), ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Theo Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
\left( \sum_{cyc} \frac{1}{x^3+1} \right) \left( \sum_{cyc} (x^3 + 1) \right) \geq (1 + 1 + 1)^2 = 9
\]

Do đó, ta có:

\[
\sum_{cyc} \frac{1}{x^3+1} \geq \frac{9}{\sum_{cyc} (x^3+1)} = \frac{9}{x^3 + y^3 + z^3 + 3}
\]

Như vậy, bất đẳng thức trở thành:

\[
18 \cdot \frac{9}{x^3+y^3+z^3+3} \leq (x+y+z)^3
\]

Ta cần chứng minh:

\[
\frac{162}{x^3+y^3+z^3+3} \leq (x+y+z)^3
\]

Câu này có thể được chứng minh bằng cách dùng điều kiện \( xyz = 1 \) và áp dụng bất đẳng thức AM-GM.

**Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM** cho \( x^3, y^3, z^3 \):

\[
\frac{x^3 + y^3 + z^3}{3} \geq (xyz)^{1} = 1 \Rightarrow x^3 + y^3 + z^3 \geq 3
\]

**Bước 2: Xét biểu thức \( x+y+z \)**.

Áp dụng AM-GM cho ba số \( x, y, z \):

\[
\frac{x + y + z}{3} \geq (xyz)^{1/3} = 1 \Rightarrow x + y + z \geq 3
\]

**Bước 3: So sánh hai biểu thức**.

Từ hai bậc trên, ta có \( x^3+y^3+z^3 \geq 3 \) dẫn đến:

\[
x^3 + y^3 + z^3 + 3 \geq 6
\]

Nên:

\[
\frac{162}{x^3+y^3+z^3+3} \leq 27
\]

Như vậy, điều này chứng minh rằng:

\[
18\left(\frac{1}{x^3+1} + \frac{1}{y^3+1} + \frac{1}{z^3+1}\right) \leq (x+y+z)^3
\]

Kết thúc chứng minh.