Để giải bài toán theo yêu cầu, ta thực hiện từng phần như sau:

**a)** Chứng minh: \(\triangle AMB = \triangle AMC\).

- \(AM\) là chung.
- \(AB = AC\) (bởi tam giác ABC cân tại A).
- Góc \(AMB = \angle AMC\) (góc chung).

Suy ra theo tiêu đề tam giác đồng dạng, \(\triangle AMB = \triangle AMC\).

---

**b)** Chứng minh: \(AM \perp BC\).

Bởi vì \(\triangle AMB = \triangle AMC\), nên \(AM\) là tia phân giác của góc \(BAC\).

Do đó, ta có \(AM\) vuông góc với \(BC\).

---

**c)** Vẽ \(A_t\) là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh \(A\) của \(\triangle ABC\) (tại \(B\) và cùng một phía với điểm \(C\)).

Chứng minh: \(A_t \parallel BC\).

Theo định nghĩa của tia phân giác, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{A_tB}{A_tC}
\]

Suy ra \(A_t \parallel BC\) (do hai tỉ lệ bằng nhau).

---

**d)** Qua \(M\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(AB\) cắt \(At\) tại \(P\). Trên đường thẳng qua \(M\) và vuông góc với \(AC\) lấy điểm \(Q\) sao cho \(MQ = MP\).

Chứng minh: \(A\) là trung điểm của \(PQ\).

- Từ \(M\) vuông góc với \(AB\), suy ra \(MP \perp AB\).
- Tương tự, \(MQ \perp AC\).

Vì \(MQ = MP\), \(A\) nằm chính giữa \(PQ\), cho nên \(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(PQ\).

Kết thúc chứng minh.