Để chứng minh các kết quả trong hình vẽ của tam giác ABC đều và các tam giác vuông cân ABM và ACN, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác đều và tam giác vuông.

### Giả thiết:
- Tam giác ABC đều (AB = AC = BC).
- Tam giác ABM là tam giác vuông cân (AM = AB).
- Tam giác ACN là tam giác vuông cân (AN = AC).

### Chứng minh:

#### a) Chứng minh BN = CM

1. **Tam giác đều**: Gọi \( O \) là trọng tâm của tam giác ABC. Do AB = AC, suy ra AO = BO = CO.

2. **Tam giác vuông cân ABM**:
- Vì AM = AB và góc BAM = 45°, nên trong tam giác ABM, có:
\[
BM = AB \cdot \sqrt{2} = AO \cdot \sqrt{2} \quad \text{(từ tính chất của tam giác vuông cân)}
\]

3. **Tam giác vuông cân ACN**:
- Tương tự với tam giác ACN, có:
\[
CN = AC \cdot \sqrt{2} = AO \cdot \sqrt{2}
\]

4. **Từ đó**, vì BN và CM đều từ đỉnh B và C nối với các điểm nằm trên đường cao (phân giác) của tam giác ABC đều nên chúng bằng nhau:
\[
BN = BM \quad \text{và} \quad CM = CN.
\]
Suy ra BN = CM.

#### b) Chứng minh BN vuông góc với CN

1. Xét góc \(\angle AMB\) trong tam giác vuông ABM và \(\angle ANC\) trong tam giác vuông ACN. Cả hai góc này đều bằng 90°.

2. **Góc giữa hai đường thẳng**:
- Vì AM vuông góc với AB, và AN vuông góc với AC, nên:
\[
\angle AMB = 90° \quad \text{và} \quad \angle ANC = 90°
\]

3. Trong tam giác ABC, do A là đỉnh của tam giác đều, suy ra BN vuông góc với CN tại N, vì đó là điểm nối giữa trung điểm của BC và đường cao từ A:
\[
BN \perp CN.
\]

Do đó, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu: \( BN = CM \) và \( BN \perp CN \).