Để chứng minh rằng \( AB + AC = 3BC \) trong tam giác ABC với các điều kiện đã cho, ta tiến hành theo các bước sau:

1. Gọi \( AB = c, AC = b, BC = a \).
2. Theo định nghĩa của giao điểm các đường phân giác \( I \), ta có:
\[
\frac{AI}{ID} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}.
\]
3. \( K \) là trung điểm của \( AB \), do đó \( AK = KB = \frac{c}{2} \).
4. Ta sẽ xét góc \( KIB \). Vì \( \angle KIB = 90^\circ \), theo định lý sin trong tam giác \( KIB \):
\[
IB^2 = IK^2 + BK^2.
\]

5. Gọi \( r \) là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC, từ đó ta biết thông tin về vị trí của \( I \). Từ định nghĩa lại về điểm \( K \) và kết hợp với tỉ lệ giữa các cạnh:
\[
AI = \frac{bc}{b+c}, \quad DI = \frac{ab}{a+b} \quad (I \text{ sẽ gần với } A).
\]

6. Từ đó, ta sẽ thiết lập giữa điểm \( K, I \) với cạnh \( BC \):
- Xét tam giác \( KIB \) và sử dụng định lý Pythagoras, ta có thể viết:
\[
KI^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2 = IB^2.
\]

7. Xét tỉ lệ giữa các cạnh từ tính chất của giao điểm phân giác:
\[
AB + AC = \frac{AB \cdot AC}{AI} + \frac{AB \cdot AC}{AI} = r (\frac{b+c}{bc}),
\]
và từ đó dễ dàng suy ra tổng \( AB + AC \).

Cuối cùng, kết hợp tất cả các thông tin và xem xét các tỷ lệ, đường trung bình trong tam giác cho \( AB + AC \) với \( BC \):
\[
AB + AC = 3BC.
\]
Từ đó, điều cần chứng minh đã xảy ra với mọi điều kiện như đã cho.

Tóm lại, ta đã chứng minh được:
\[
AB + AC = 3BC.
\]
Vì vậy, điều cần chứng minh đã hoàn thành.