Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán liên quan đến tam giác vuông ABC và các điểm D, M, N.

### a. Tứ giác AMDN là hình gì? Vì sao?

Tứ giác AMDN là hình chữ nhật. Để chứng minh điều này, ta cần chỉ ra rằng:

1. **AD = MN**: Vì DM và DN đều vuông góc với các cạnh AB và AC. Do đó, DM và DN là các đường cao của tam giác vuông AMN, và MC = AN.
2. **Các góc AMN, ADN, AMD và ADN đều là 90 độ**: Vì DM ⊥ AB và DN ⊥ AC.

Do đó, tứ giác AMDN có 4 góc vuông và các cạnh đối diện bằng nhau, nên AMDN là hình chữ nhật.

### b. Tìm vị trí điểm D trên cạnh BC thì MN có độ dài nhỏ nhất? Vẽ hình đúng với vị trí của điểm D đó.

Để tìm vị trí điểm D sao cho MN có độ dài nhỏ nhất, ta cần cân nhắc rằng MN là cạnh đối diện với đỉnh vuông A của tam giác ABC. Độ dài MN sẽ tối thiểu khi MN cùng vuông góc với BC, tức là D cần nằm trên đường thẳng chứa AC.

Vậy, điểm D nên được đặt trên BC sao cho D nằm thẳng đứng với A, tức là D chính là H (điểm cao từ A trên BC). Khi đó, MN = AH và đạt giá trị nhỏ nhất.

**Hình vẽ:** Một hình vẽ có thể được tạo ra bằng cách vẽ tam giác vuông ABC với AH là đường cao từ A xuống cạnh BC, và điểm D trùng với H.

### c. Tính số đo góc MHN?

Vì D nằm trên đường thẳng AC, và chúng ta đã thiết lập được rằng MN vuông góc với AB và AC, qua đó phải chia sẻ cùng một đường vuông góc tại H. Do đó, các góc AMH và MHD đều là 90 độ:

- Khi đó, ta có:
\[
\angle MHN = \angle AMH + \angle AHD = 90° + 90° = 180°.
\]

Tuy nhiên, thực chất cần chú ý rằng MHN là một góc của hai đường thẳng cắt nhau, và chúng đều vuông góc với AC và AB.

Do đó, số đo góc MHN thực tế chính là góc giữa hai đường thẳng AM và AH. Vì AM vuông góc với AB, và AH vuông góc với BC.

Tóm lại, việc xác định chính xác số đo các góc phụ thuộc vào vị trí chính xác của mỗi điểm và chúng ta có thể thấy rằng:

\[
\angle MHN = 90°.
\]

Vì M nằm trên MN, và N vuông góc với AC.