Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán này, chúng ta sẽ cần sử dụng một số tính chất về tiếp tuyến, hình học đường tròn cũng như định lý Pythagore.

### a) Chứng minh DF là tiếp tuyến của (O;R)

1. **Tính chất tiếp tuyến**: Một đường thẳng được coi là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.

2. **Xét điểm A**: Gọi OA là bán kính của đường tròn tại điểm A. Khi đó, OA vuông góc với đường tiếp tuyến DF tại A.

3. **Xét điểm C**: Gọi OC là bán kính của đường tròn tại điểm C. Khi đó, OC vuông góc với đường tiếp tuyến DF tại C.

4. **Xét điểm D**: D được xác định là điểm mà đường cao CH kéo dài cắt đường tròn (O;R) một lần nữa ngoài C. Sử dụng điện tích trong tam giác và tính chất về góc, chúng ta thấy rằng tam giác ACD có tính chất đối xứng.

5. **Góc ADC nguyên**: Gọi HD là hình chiếu của A lên đường thẳng CH. Xét góc ADF, theo định lý về góc tiếp tuyến, ta có:
\[ \angle ADF = \angle AOC \]
Vì DF vuông góc với OA và OC, nên DF là tiếp tuyến tại A và C.

Như vậy, DF là tiếp tuyến của đường tròn (O;R).

### b) Chứng minh \( AF \cdot BH = BF \cdot AH \)

1. **Sử dụng định lý Thales**: Khi chúng ta xác định các tỉ lệ giữa các đoạn thẳng liên quan đến các đường thẳng cắt nhau, định lý Thales có thể được sử dụng.

2. **Giao điểm F**: Ghi nhận rằng F là giao điểm của MC và AB. Theo định lý Thales, ta sẽ có:
\[
\frac{AF}{FB} = \frac{AH}{HB}
\]

3. **Tích tỉ lệ**: Từ tỉ lệ trên, ta nhân chéo và sẽ có:
\[
AF \cdot HB = BF \cdot AH
\]
Tức là
\[
AF \cdot BH = BF \cdot AH
\]

Do đó, chúng ta đã chứng minh xong phần b.

### Kết Luận:

1. DF là tiếp tuyến của đường tròn (O;R).
2. Tập hợp các đoạn thẳng AF, BF, AH, HB thỏa mãn tỉ lệ tích như đã chứng minh trên.

Nếu có thêm những yêu cầu hoặc thắc mắc khác trong bài toán này, bạn có thể đặt ra để tôi giúp đỡ!