Ta có góc BEA = góc DAB = góc DBA 
=> tam giác BAE đồng dạng tam giác CAB 
=> AC/AB = AB/AE 
=> AC .AE = 6 <=> AC^2 = 12 ( AE = 1/2 AC) 

Pytago : 
BC^2 = AC^2 + BC^2 = 24 
=> BC = 3 căn2

Ta có:
sin góc(BAG)= BG/ AB = BG/ căn 6.
<=>cos (pi/2 - góc(BAG))=cos (GAE)= BG/căn 6. ( vì sinx=cos(pi/2 -x)).
dễ dàng chứng minh được tam giác BGD đồng dạng với tam giác AGE
nên góc (GBD)= góc ( GAE)
=> cos (GBD) = BG/căn 6.
mà cos (GBD)= BG/BD.
suy ra BG/căn 6 = BG/BD
suy ra BD= căn 6.
mà tam giác ABC vuông tại A có AD là trung tuyến nên AD=DC=DB=BC/2
=> BC=2BD= 2 căn 6