Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB tại E và HF vuông góc với AC tại F

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu.

### a) Tính HA, góc BAH, góc ABC

**Giả sử:**
- \( AB = 10 \, cm \)
- \( BH = 8 \, cm \)

Ta có, vì AH là đường cao từ A đến cạnh BC (hoặc AB và AC), nên theo định nghĩa của đường cao trong tam giác, có:

\[
AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \, cm
\]

**Góc BAH:**

Áp dụng định lý sin trong tam giác BAH:
\[
\sin BAH = \frac{AH}{AB} = \frac{6}{10} = 0.6
\]
=> \( BAH = \arcsin(0.6) \)

**Góc ABC:**

Tại góc BAB, ta có:
\[
ABH = \arctan \left( \frac{AH}{BH} \right) = \arctan \left( \frac{6}{8} \right) = \arctan(0.75)
\]

### b) Chứng minh AB.EF = AC.AF và tam giác AEF đồng dạng với tam giác ACB

Ta có \( AE = AC \cos BAH \) và \( AF = AB \cos CAH \).
Do đó, hết AB.EF = AC.AF nếu hai tam giác AEF và ACB đồng dạng.

### c) Đường thẳng qua A và vuông góc với EF cắt BC tại D; EF cắt AH tại O

Chứng minh \( DADC \) đồng dạng với \( DAOEF \) và:
\[
\frac{S_{DAOE}}{S_{DADC}} = \sin^2 B \cdot \sin^2 C
\]

Để chứng minh, sử dụng mối quan hệ giữa diện tích các tam giác và chiều cao từ một điểm đến cạnh của tam giác.

Nếu cần thêm thông tin hay ví dụ minh họa chi tiết hơn cho từng phần, bạn có thể yêu cầu nhé!