Để giải bài toán, chúng ta lần lượt thực hiện từng yêu cầu:

### a) Tính giá trị của biểu thức \( Q \) khi \( x = 16 \).

Biểu thức \( Q \) được cho là:
\[
Q = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}
\]

Thay \( x = 16 \) vào biểu thức \( Q \):

\[
Q = \frac{\sqrt{16} + 1}{\sqrt{16} - 3} = \frac{4 + 1}{4 - 3} = \frac{5}{1} = 5
\]

### b) Rút gọn biểu thức \( P \).

Biểu thức \( P \) được cho là:
\[
P = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} + \frac{3x + 3}{x - 9}
\]

Chúng ta cần rút gọn từng phần trong biểu thức \( P \):

1. **Rút gọn phần thứ nhất:**
\[
\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}
\]

2. **Rút gọn phần thứ hai:**
\[
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3}
\]

3. **Rút gọn phần thứ ba:**
\[
\frac{3x + 3}{x - 9} = \frac{3(x+1)}{3(x-3)} = \frac{x+1}{x-3}
\]

Bây giờ thay giá trị \( x = 16 \) vào từng phần:

- Phần thứ nhất:
\[
\frac{2\sqrt{16}}{\sqrt{16} + 3} = \frac{2 \cdot 4}{4 + 3} = \frac{8}{7}
\]

- Phần thứ hai:
\[
\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{16} - 3} = \frac{4}{4 - 3} = 4
\]

- Phần thứ ba:
\[
\frac{3 \cdot 16 + 3}{16 - 9} = \frac{48 + 3}{16 - 9} = \frac{51}{7}
\]

Bây giờ, cộng các phần lại:
\[
P = \frac{8}{7} + 4 + \frac{51}{7} = \frac{8 + 51 + 28}{7} = \frac{87}{7}
\]

### c) Tính giá trị của \( A = x \cdot M + \frac{4x + 7}{\sqrt{x + 3}} \).

Bây giờ, chúng ta có \( M = P \cdot Q \).

Tính \( M \) khi đã có \( P = \frac{87}{7} \) và \( Q = 5 \):
\[
M = \frac{87}{7} \cdot 5 = \frac{435}{7}
\]

Cuối cùng, thay \( M \) vào biểu thức \( A \):
\[
A = x \cdot M + \frac{4x + 7}{\sqrt{x + 3}} \quad \text{với } x = 16
\]

Tính giá trị:
\[
A = 16 \cdot \frac{435}{7} + \frac{4 \cdot 16 + 7}{\sqrt{16 + 3}} = \frac{6960}{7} + \frac{64 + 7}{5} = \frac{6960}{7} + \frac{71}{5}
\]

Cần quy đồng mẫu số để cộng hai phân số này:
\[
A = \frac{6960 \cdot 5 + 71 \cdot 7}{35} = \frac{34800 + 497}{35} = \frac{35297}{35}
\]

Kết luận:
1. \( Q(16) = 5 \)
2. \( P = \frac{87}{7} \)
3. \( A = \frac{35297}{35} \)