Bài 3. Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\)
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng \((BDA')\) và \((B'D'C)\) song song với nhau
b) Chứng minh rằng đường chéo \(AC'\) đi qua trọng tâm \({G_{1},{G_{2}}}\) của hai tam giác \(BDA'\) và \(B'D'C\)
c) Chứng minh \({G_{1},{G_{2}}^{}}^{}\) chia đoạn \(AC'\) thành ba phần bằng nhau
d) Gọi \(O\) và \(I\) lần lượt là tâm của các hình bình hành \(ABCD\) và \(AA'C'C\). Xác định thiết diện của mặt phẳng \((A'IO)\) với hình hộp đã cho                             
Lời giải:
a) Tứ giác \(BDD'B'\) và \(A'BCD\) là hình bình hành nên: \(BD // B'D'\) \(\Rightarrow BD // (B'D'C)\)
và \(BA' // CD' \Rightarrow BA' // ( B'D'C)\)        
Từ đó suy ra \(( BDA') //(B'D'C)\)
b) Gọi \(O,O'\) lần lượt là tâm của hình bình hành \(ABCD,A'B'C'D'\)
Gọi \({G_{1}}^{}\), \({G_{2}}^{}\) là giao điểm của \(AC'\) với \(A'O\) và \(CO'\)
\(\Delta {G_1}OA\) đồng dạng \(\Delta {G_1}A'C'\)
\( \Rightarrow {{{G_1}O} \over {{G_1}A'}} = {{OA} \over {A'C'}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{A{G_1}} \over {A'O}} = {2 \over 3}\)
\(\Rightarrow G_1\) là trọng tâm \(\Delta A'BD\).
Chứng minh tương tự ta có: \(G_2\) là trọng tâm \(\Delta B'D'C\). 
Vậy \(AC'\) đi qua \(G_1,G_2\).
c) Chứng minh
\( \frac{A{G_{1}}^{}}{{G_{1}C}^{}}\) = \( \frac{AO}{A'C'} = \frac{1}{2}\) (vì \(\Delta G_1OA\) đồng dạng \(\Delta G_1 A'C'\))
\( \frac{C'{G_{2}}^{}}{{G_{2}A}^{}}\) = \( \frac{C'O'}{CA} = \frac{1}{2}\) (vì \(\Delta G_2C'O'\) đồng dạng \(\Delta G_2 AC\))
Từ đó suy ra: \( {AG_{1} = {G_{1}{G_{2}= {G_{2}C'}^{}}^{}}^{}}^{}\)
d) \((A'IO) ≡  (AA'C'C)\) suy ra thiết diện là \(AA'C'C\)