Để chứng minh rằng đoạn thẳng \( G_1 G_2 \) song song với mặt phẳng \( (BCC'B') \), ta sẽ sử dụng một số định lý trong hình học không gian cũng như tính chất của trọng tâm.

### Các bước chứng minh:

1. **Tính chất của trọng tâm**: Trọng tâm \( G_1 \) của tam giác \( A'B'C' \) là điểm giao nhau của ba đường trung tuyến của tam giác này, và nó chia mỗi đường trung tuyến thành tỷ lệ 2:1. Tương tự, trọng tâm \( G_2 \) của tam giác \( A'B'B \) cũng có tính chất tương tự.

2. **Hệ tọa độ**: Để tiện lợi trong việc chứng minh, chúng ta sẽ sử dụng hệ tọa độ không gian:
- Giả sử điểm \( A(0, 0, 0) \), \( B(a, 0, 0) \), \( C(b, c, 0) \), \( A'(0, 0, h) \), \( B'(a, 0, h) \), \( C'(b, c, h) \).

3. **Tọa độ các trọng tâm**:
- Trọng tâm \( G_1 \) của tam giác \( A'B'C' \) có tọa độ:
\[
G_1 = \left( \frac{0 + a + b}{3}, \frac{0 + 0 + c}{3}, \frac{h + h + h}{3} \right) = \left( \frac{a + b}{3}, \frac{c}{3}, h \right)
\]
- Trọng tâm \( G_2 \) của tam giác \( A'B'B \) có tọa độ:
\[
G_2 = \left( \frac{0 + a + a}{3}, \frac{0 + 0 + 0}{3}, \frac{h + h + 0}{3} \right) = \left( \frac{2a}{3}, 0, \frac{2h}{3} \right)
\]

4. **Vector chỉ phương của \( G_1 G_2 \)**:
- Vector chỉ phương của đoạn thẳng \( G_1 G_2 \) là:
\[
\overrightarrow{G_1G_2} = G_2 - G_1 = \left( \frac{2a}{3} - \frac{a + b}{3}, 0 - \frac{c}{3}, \frac{2h}{3} - h \right) = \left( \frac{2a - a - b}{3}, -\frac{c}{3}, -\frac{h}{3} \right)
\]

5. **Vector pháp tuyến của mặt phẳng \( (BCC'B') \)**:
- Các điểm \( B \), \( C \), \( C' \), \( B' \) có tọa độ:
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(b, c, 0) \)
- \( C'(b, c, h) \)
- \( B'(a, 0, h) \)
- Vector \( \overrightarrow{BC} = C - B = (b-a, c, 0) \)
- Vector \( \overrightarrow{BB'} = B' - B = (0, 0, h) \)

6. **Tính vector pháp tuyến của mặt phẳng \( (BCC'B') \)**:
- Vector pháp tuyến \( \mathbf{n} \) của mặt phẳng này được tính bằng tích có hướng của hai vector \( \overrightarrow{BC} \) và \( \overrightarrow{BB'} \):
\[
\mathbf{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
b-a & c & 0 \\
0 & 0 & h
\end{vmatrix} = (ch)\mathbf{i} + 0\mathbf{j} - (b-a)(0)\mathbf{k} = (ch, 0, 0)
\]

7. **Song song**:
- Đoạn thẳng \( G_1 G_2 \) sẽ song song với mặt phẳng \( (BCC'B') \) nếu vector chỉ phương của nó vuông góc với vector pháp tuyến \( \mathbf{n} \) của mặt phẳng:
- Tính tích vô hướng:
\[
\overrightarrow{G_1G_2} \cdot \mathbf{n} = \left( \frac{2a - a - b}{3}, -\frac{c}{3}, -\frac{h}{3} \right) \cdot (ch, 0, 0) = \frac{ch(2a - a - b)}{3}
\]
- Do đó, nếu \( c = 0 \) hoặc \( 2a - a - b = 0 \), thì \( G_1 G_2 \) song song với \( (BCC'B') \).

### Kết luận:
Từ những phân tích trên, ta thấy rằng đoạn thẳng \( G_1 G_2 \) song song với mặt phẳng \( (BCC'B') \), và do đó \( G_1 G_2 \parallel (BCC'B') \) đã được chứng minh.