Bài 3. Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có  đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(M\) và \(N\) là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung \(AM\) và \(BN\) cắt nhau tại \(I\).
a) Chứng minh \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}\);
B) Hãy dùng câu a) để tính \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}\) theo \(R\)
Giải

Ta có :  \(\left( {\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AI} \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB} } \right) = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {MB} \)
Mặt khác: \(\overrightarrow {AI}  \bot \overrightarrow {MB} \) nên \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {MB}  = 0\) 
Từ đó: \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} \)
Ta có: \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {BI} \left( {\overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {NA} } \right) = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {NA} \)
Mặt khác: \(\overrightarrow {BI}  \bot \overrightarrow {NA} \) nên \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {NA}  = 0\)  
Từ đó: \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \)
b)  
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \cr
& = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} } \right) \cr
& = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} = {\overrightarrow {AB} ^2} = 4{{\rm{R}}^2} \cr} \)