Bài 58. Cho tam giác đều \(ABC\). Trên nửa mặt phẳng bờ \(BC\) không chứa đỉnh \(A\), lấy điểm \(D\) sao cho \(DB = DC\) và \(\widehat{DCB}\) =\(\frac{1}{2}\) \(\widehat{ACB}\).
a) Chứng minh \(ABDC\) là tứ giác nội tiếp.
b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm \(A, B, D, C\).
Hướng dẫn giải:
a) Theo giả thiết, \(\widehat{DCB}\) =\(\frac{1}{2}\) \(\widehat{ACB}\) = \(\frac{1}{2}\) .\(60^0\)= \(30^0\)  
 \(\widehat{ACD}\) = \(\widehat{ACB}\) + \(\widehat{BCD}\) (tia \(CB\) nằm giữa hai tia \(CA, CD\))
\(\Rightarrow\)\(\widehat{ACD}\) = \(60^0\) + \(30^0\)=\(90^0\)  (1)
Do \(DB = CD\) nên ∆BDC cân => \(\widehat{DBC}\) = \(\widehat{DCB}\) =  30^o 
Từ đó \(\widehat{ABD}\) = \(30^0\)+\(60^0\)=\(90^0\) (2)
Từ (1) và (2) có \(\widehat{ACD}\) + \(\widehat{ABD}\) = \(180^0\) nên tứ giác \(ABDC\) nội tiếp được.
b) Vì \(\widehat{ABD}\)  = \(90^0\)nên \(AD\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABDC\), do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABDC\) là trung điểm \(AD\).