a. Vì IQ ⊥ BC mà Q là trung điểm của BC

⇒⇒ IQ là đường trung trực của BC

⇒⇒ BI=CI

Vì IP ⊥ AD mà P là trung điểm của AD

⇒⇒ IP là đường trung trực của AD

⇒⇒ AI=DI

Xét ΔAIB và ΔDIC có:

AI=DI (cmt)

BI=CI (cmt)

AB=DC (giả thiết)

⇒⇒ ΔAIB = ΔDIC (c.c.c) (đpcm)

b. Vì ΔAIB = ΔDIC⇒ˆIAB=ˆIDC⇒IAB^=IDC^ (hai góc tương ứng) 

mà ˆIDC=ˆIACIDC^=IAC^ ( vì tam giác IAD cân tại I)

⇒ˆIAB=ˆIAC⇒IAB^=IAC^ 

⇒⇒ AI là tia phân giác của góc BAC (đpcm)

c. Xét ΔAIE và ΔAIP có

ˆAEI=ˆAPI=90oAEI^=API^=90o

AI chung

ˆIAE=ˆIAPIAE^=IAP^ ( vì AI là tia phân giác góc A)

⇒⇒ ΔAIE = ΔAIP (cạnh huyền - góc nhọn )

⇒⇒ AE=AP (hai cạnh tương ứng)

mà AP=AD2AP=AD2 (Vì P là trung điểm AD)

⇒AE=AD2⇒AE=AD2 (đpcm)