Phương pháp áp dụng
Cho hai phương trình f(x, m) = 0 (1) và g(x, m) = 0 (2)
1. Xác định tham số để phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2) (nói cách khác “Để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2)”), ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Điều kiện cần

• Giải và tìm nghiệm x = x0 của (1).
• Để phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2), trước hết cần x = x0 cũng là nghiệm của (2), tức là: g(x0, m) = 0 => m = m0.
• Vậy m = m0 chính là điều kiện cần.

Bước 2: Điều kiện đủ với m = m0, ta được:

• (1) <=> f(x, m0) = 0 => nghiệm của (1)
• (2) <=> g(x, m0) = 0 => nghiệm của (2)
• Kết luận.

2. Xác định tham số để (1) và (2) tương đương, ta lựa chọn theo hai hướng sau:
Hướng 1: Nếu (1) & (2) đều giải được.
Ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Giải (1) để tìm tập nghiệm D1. Giải (2) để tìm tập nghiệm D2.
• Bước 2: Thiết lập điều kiện để D1 = D2.

Hướng 2: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ

• Bước 1: Điều kiện cần: Giải và tìm nghiệm x = x0 của (1). Để phương trình (1) & (2) tương đương, trước hết cần x = x0 cũng là nghiệm của (2), tức là: g(x0, m) = 0 => m = m0. Vậy m = m0 chính là điều kiện cần.
• Bước 2: Điều kiện đủ: Với m = m0, ta được: (1) <=> f(x, m0) = 0 => nghiệm của (1) và (2) <=> g(x, m0) = 0 => nghiệm của (2)

Kết luận.

Thí dụ 1. Cho hai phương trình: x+1−−−−−√−2=0, (1) và x2 - 2mx - m2 - 2 = 0. (2)
Tìm m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2).
Giải​
Biến đổi (1) về dạng: x+1−−−−−√=2 <=> x + 1 = 4 <=> x = 3.
Do đó, để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2) điều kiện là x = 3 cũng là nghiệm của (2), tức là:
9 - 6m - m2 - 2 = 0 <=> m2 + 6m - 7 = 0 ⇔[m=1m=−7.
Vậy, với m = 1 hoặc m = -7 thoả mãn điều kiện đầu bài.
* Nhận xét: Như vậy, trong lời giải của thí dụ trên ta đã không sử dụng mẫu phương pháp điều kiện cần và đủ bởi các lý do sau:

1. Phương trình (1) không chứa tham số.
2. Dễ dàng tìm được tất cả các nghiệm của (1) và phép thử các nghiệm đó vào (2) đơn giản.

Trong những trường hợp một trong các lý do trên bị vi phạm các em học sinh nên thực hiện đúng mẫu điều kiện cần và đủ để giải.
Trong trường hợp (1) có chứa tham số ta cần chỉ ra được một nghiệm tường minh của (1) để tìm được điều kiện cần cho m. Cụ thể ta đi xem xét ví dụ sau:

Thí dụ 2. Cho hai phương trình: x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0, (1)
x3 - 2x2 - mx - m2 + 3 = 0. (2)
Tìm m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2).
Giải​
Điều kiện cần: Nhận xét rằng với mọi m phương trình (1) luôn có nghiệm x = 1.
Do đó, để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2) trước hết cần x = 1 cũng là nghiệm của (2), tức là:
1 - 2 - m - m2 + 3 = 0 <=> m2 + m - 2 = 0 ⇔[m=1m=−2..
Đó chính là điều kiện cần của m.
Điều kiện đủ: Ta lần lượt:
Với m = 1, ta được:
(1) <=> x2 - 3x + 2 = 0 <=> x = 1 hoặc x = 2.
(2) <=> x3 - 2x2 - x + 2 = 0 <=> (x - 1)(x2 - x - 2) = 0 <=> x = ±1 hoặc x = 2.
suy ra mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2), tức m = 1 thoả mãn.

Với m = -2, ta được:
(1) <=> x2 - 1 = 0 <=> x = ±1.
(2) <=> x3 - 2x2 + 2x - 1 = 0 <=> (x - 1)(x2 - x + 1) = 0 <=> x = 1.
suy ra x = -1 không là nghiệm của (2), tức m = -2 không thoả mãn.
Vậy, với m = 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.
HT ^^