Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc (g.c.g)

Bài 62 trang 145 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC. Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A và ABD, ACE có AB = AD, AC = AE. Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuoong góc với AH.

Chứng minh rằng:

a. DM = AH

b. MN đi qua trung điểm của DE

Lời giải:

a, Ta có: ∠(BAH) +∠(BAD) +∠(DAM) =180^o(kề bù)

Mà ∠(BAD) =90^o⇒∠(BAH) +∠(DAM) =90^o(1)

Trong tam giác vuông AMD, ta có:

∠(AMD) =90^o⇒∠(DAM) +∠(ADM) =90^o(2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠(BAH) =∠(ADM)

Xét hai tam giác vuông AMD và BHA, ta có:

∠(BAH) =∠(ADM)

AB = AD (gt)

Suy ra: ΔAMD= ΔBHA(cạnh huyền, góc nhọn)

Vậy: AH = DM (hai cạnh tương ứng) (3)

b, Ta có: ∠(HAC) +∠(CAE) +∠(EAN) =180^o(kề bù)

Mà ∠(CAE) =90^o⇒∠(HAC) +∠(EAN) =90^o(kề bù) (4)

Trong tam giác vuông AHC, ta có:

∠(AHC) =90^o⇒∠(HAC) +∠(HCA) =90^o (5)

Từ (4) và (5) suy ra: ∠(HCA) =∠(EAN) ̂

Xét hai tam giác vuông AHC và ENA, ta có:

∠(AHC) =∠(EAN) =90^o

AC = AE (gt)

∠(HCA) =∠(EAN)

Suy ra : ΔAHC= ΔENA(cạnh huyền, góc nhọn)

Vậy AH = EN (hai cạnh tương ứng)

Từ (3) và (6) suy ra: DM = EN

Vì DM ⇒AH và EN ⇒AH nên DM // EN (hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba)

Gọi O là giao điểm của MN và DE

Xét hai tam giác vuông DMO và ENO, ta có:

∠(DMO) =∠(ENO) =90^o

DM= EN (gt)

∠(MDO) =∠(NEO)(so le trong)

Suy ra : ΔDMO= ΔENO(g.c.g)

⇒D = OE

Vậy MN đi qua trung điểm của DE