Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

Bài tập ôn tập chương 2

Bài 4 (trang 78 SGK Hình học 11): Cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt ở cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD), song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (β) lần lượt cắt Ax, By, Cz và Dt tại A’, B’, C’ và D’.

a) Chứng minh: mặt phẳng (Ax, By) song song với mặt phẳng (Cz, Dt)

b) Gọi I = AC ∩ BD, J = A’C’ ∩ B’D’. Chứng minh: IJ song song với AA’.

c) Cho AA’ = a, BB’ = b, CC’ = c. Hãy tính DD’.

Lời giải:

a) ABDC là hình bình hành, nên:

AB // DC (1)

Theo giả thiết Ax // Dt (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

b) Do (Ax, By) // (Cz, Dt) nên các giao tuyến A’D’ và B’C’ của các mặt phẳng này giao với (β) song song với nhau, A’B’ // D’C’.

Chứng minh tương tự, ta có: A’D’ // B’C’

Suy ra tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành, cho ta J là trung điểm của A’C’. Ax // Cz nên tứ giác ACC’A’ là hình thang, I, J theo thứ tự lần lượt là các trung điểm của các cạnh bên AC và A’C’ nên IJ // AA’.

c) Vì IJ là đường trung bình của hình thang ACC’A’ nên IJ = 1/2(AA’ + CC’)

IJ cũng là đường trung bình của hình thang BDD’B’: IJ = 1/2(BB’ + DD’)

Từ đây suy ra: DD’ + BB’ = AA’ + CC’ DD’ = a + c – b