Bài 8: Một số bài toán thường gặp về đồ thị

Bài 57 (trang 55 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Khảo sát sự biến thiên và đồ thị (C) hàm số: f(x)=2x³+3x²+1

b) Tìm các giao điểm của đường cong (C) và parapol g(x) = 2x²+1 (P)

c) Viết Phương trình các tiếp điểm của (C) và (P) tại các điểm của chúng.

d) Xác định các khoảng trên đó (C) nằm phía trên và hoặc phía dưới (P).

Lời giải:

a) Hàm số: f(x) = y=2x³+3x²+1. TXĐ: D = R

Sự biến thiên: y’ = 6x²+6x

Sự biến thiên, nghịch biến.

Hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; -1)và (0;+∞)

Hàm số nghịch biến trong khoảng (-1; 0)

Cực trị: y_CĐ=2 khi x = -1

y_CT=1 khi x = 1v

Điểm uốn, tính lồi lõm:

Ta có y’’ = 12x + 6

y''=0 <=> 12x+6=0 <=> x=-1/2 => y=3/2

Bảng xét dấu

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số : f(x) = y = 2x³+3x²+1

Giao điểm Oy: (0; 1)

Đi qua (-1; 2)

b) Hoành độ giao điểm của đường cong (C) và parabol (P) là nghiệm của phương trình:

f(x)=g(x) <=> 2x³+3x²+1=2x²+1

Vậy đường cong C và parabol (P) cắt tại 2 điểm: A(0; 1); B(-1/2;3/2)

c) Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm A của đường cong (C ) và parabol (P) là: y’(0) = 0

Vậy Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm A của đường cong (C) và parabol (P) y0(x-0)+1,hay y=1

Hệ số số góc tiếp tuyến tại giao điểm A của đường cong (C) và parabol (P) là:

Vậy Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm B của đường cong (C) và parabol (P) là:

d) Để (C) nằm phía trên (P) thì 2 hàm số f(x) và g(x) phải thõa mãn điều kiện sau:

Vậy với x ∈(-∞; -1/2) và (0; +∞) thì (C) nằm phía trên (P). Để (C) nằm phía dưới (P) thì 2 hàm số f(x) và g(x) thỏa mãn điều kiện sau:

f(x)< g(x) <=> 2x³+3x²+1 < 2x²+1 <=> 2x³+x² < 0 <=> -1/2 < x < 0

Vậy với x ∈(-1/2;0) thì (C) nằm phía dưới (P).