Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 2 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với n ∈ N*

a. n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3.

b. 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9

c. n³ + 11n chia hết cho 6.

Lời giải:

Đặt A_n = n³ + 3n² + 5n

+Ta có: với n = 1

A₁ = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết 3

+giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

A_k = (k³ + 3k² + 5k) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)

+Ta chứng minh A_k + 1 chia hết 3

Thật vậy, ta có:

A(k + 1) = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5

= (k³ + 3k² + 5k) + 3k² + 9k + 9

Theo giả thiết quy nạp A_k chia hết 3, hơn nữa 9(k + 1) chia hết 3

Nên A_n = n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*

b.4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9

đặt A_n = 4ⁿ + 15n – 1

với n = 1 => A₁ = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9

+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

A_k = (4^k + 15k – 1) chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

+Ta chứng minh: A_k+1 chia hết 9

Thật vậy, ta có:

A_k+1 = (4^k+1 + 15(k + 1) – 1) = 4^k.4¹ + 15k + 15 – 1

= (4^k + 15k – 1) + (3.4^k + 15) = A_k + 3(4^k + 5)

Theo giả thiết quy nạp A_k chia hết 9, hơn nữa:

3(4^k + 5) chia hết 9 ( chứng minh tương tự) ∀k≥ 1 nên A_k+1 chia hết 9

Vậy A_n = 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N*

c.n³ + 11n chia hết cho 6.

Đặt U_n = n³ + 11n

+Với n = 1 => U₁ = 12 chia hết 6

+giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

U_k = (k³ + 11k) chia hết 6 (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh: U_k+1 chia hết 6

Thật vậy ta có:

U_k+1 = (k + 1)³ + 11(k +1) = k³ + 3k² + 3k + 1 + 11k + 11

= (k³ + 11k) + 3k² + 3k + 12 = U_k + 3(k² + k + 4)

+Theo giả thiết quy nạp thì:

U_k chia hết 6, hơn nữa 3(k² + k + 4)=3(k(k+1)+4) chia hết 6 ∀k≥ 1 ( 2 số liên tiếp nhân với nhau chia hết cho 2)

Do đó: U_k+1 chia hết 6

Vậy: U_n = n³ + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*