Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 1 (trang 9 SGK Giải tích 12): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a) y = 4 + 3x – x²

c) y = x⁴ - 2x² + 3

d) y = -x³ + x² – 5

Lời giải:

(Lưu ý:

Để xét xem dấu của hàm số là + hay - trong một khoảng nào đó ở bảng biến thiên, bạn lấy một giá trị bất kì nằm trong khoảng đó, thay vào đạo hàm y'. Nếu y' là dương thì dấu của y' trong khoảng đó là + và ngược lại.

Ví dụ: xét dấu y' = -x² + 4 trong khoảng (-2; 2). Chẳng hạn ta lấy một giá trị bất kì trong khoảng là 1, thay vào y' ta được: y' = -(-1)² + 4 = 3 > 0. Do đó dấu của y' trong khoảng (-2; 2) sẽ là +.)

a) D = R

y' = 3 – 2x = 0 ⇔ x = 3/2

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; 3/2 ) và nghịch biến trong khoảng ( 3/2 ; + ∞ ).

b) D = R

y' = x² + 6x - 7

y' = 0 ⇔ x = -7 hoặc x = 1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng (-∞ ; -7) và (1 ; +∞ ); nghịch biến trong khoảng (-7; 1 ).

c) D = R

y'= 4x³ - 4x = 4x(x² - 1)

y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; 1) và (0 ; 1); đồng biến trong các khoảng (-1 ; 0) và ( 1; +∞).

d) D = R

y'= -3x₂ + 2x

y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2/3

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; 0) và (2/3 ; + ∞), đồng biến trong khoảng (0 ; 2/3 ).