a) Chứng minh BC là phân giác của ABD:

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên đường cao AH cũng là phân giác của góc BAC.

Vì vậy, ta có ∠BAH = ∠CAH.

Hai góc ∠BAD và ∠CAD nằm cùng cạnh BA, nên chúng có cùng độ lớn.

Từ đó, ta có ∠BAD = ∠CAD.

Vậy, BC là phân giác của góc ABD.

b) Chứng minh AD^2 = 4BI.CI:

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên ta có AC^2 = AB^2 + BC^2 (theo định lý Pythagoras).

Vì vậy, ta có AC^2 - BC^2 = AB^2.

Do đó, (AC - BC)(AC + BC) = AB^2.

Vì AD là đường cao của tam giác ABC, nên ta có AC - BC = 2BI và AC + BC = 2CI.

Từ đó, ta có (2BI)(2CI) = AB^2.

Vậy, ta đã chứng minh AD^2 = 4BI.CI.

c) Chứng minh bốn điểm A, M, E, N cùng thuộc một đường tròn:

Ta biết rằng BM là tiếp tuyến của đường tròn (B) tại M và CN là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại N.

Do đó, theo định lí về giao điểm của hai tiếp tuyến, ta có BM ⊥ AD và CN ⊥ AD.

Vì vậy, ta có ∠BMA = ∠CNA = 90°.

Từ đó, ta suy ra rằng AMNC là tứ giác nội tiếp.

Vì AE là tiếp tuyến của đường tròn (B) tại E và NE là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại E.

Do đó, theo định lí về giao điểm của hai tiếp tuyến, ta có AE ⊥ BM và AE ⊥ CN.

Vậy, ta có ∠BEM = ∠CEN = 90°.

Từ đó, ta suy ra rằng BMNE là tứ giác nội tiếp.

Vậy, ta đã chứng minh bốn điểm A, M, E, N cùng thuộc một đường tròn.
d) 
Quan sát tam giác AME và tam giác ANE, ta thấy AM là tiếp tuyến của đường tròn (B) tại M và AN là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại N. Do đó, theo định lí về giao điểm của hai tiếp tuyến, ta có ME ⊥ BM và NE ⊥ CN.

Vì ME ⊥ BM và NE ⊥ CN, nên ta có ME || CN và NE || BM.

Do đó, theo định lí về cặp góc đồng quy, ta có:

∠MEN = ∠MCE (cặp góc đồng quy)

∠MCE = ∠NCE (cặp góc đồng quy)

Vậy, ta có ∠MEN = ∠NCE.

Điều này cho thấy rằng góc MEN không thuộc vị trí của đường thẳng a, vì nếu thuộc thì ∠MEN = ∠NCE = ∠CED (góc ở cùng cung).

Vì vậy, số đo MEN không thuộc vị trí của đường thẳng a.