Để chứng minh S là quan hệ tương đương trên X, ta cần chứng minh S thỏa mãn ba tính chất sau đây: phản xạ, đối xứng và bắc cầu.

1. **Phản xạ:** Với mỗi điểm M ∈ X, ta cần chứng minh MS M. Theo định nghĩa của S, MS M nếu và chỉ nếu MM = MM. Điều này luôn đúng cho mọi điểm M, do đó S thỏa mãn tính chất phản xạ.

2. **Đối xứng:** Nếu MS N thì cần phải có NS M. Giả sử MS N, tức là MI = IN với I là một điểm nào đó trên mặt phẳng. Nhưng MI = IN cũng nghĩa là IN = MI, vậy NS M. Do đó, S thỏa mãn tính chất đối xứng.

3. **Bắc cầu:** Nếu MS N và NS P thì cần phải có MS P. Giả sử MS N và NS P, tức là có điểm I sao cho MI = IN và có điểm J sao cho NJ = JP. Nhưng vì MI = IN và IN = NJ thì MI = NJ. Do đó, M, I, J, P đều nằm trên cùng một đường thẳng và MI = IP. Vậy MS P.

Do đó, S là một quan hệ tương đương trên X.