A) Để chứng minh tam giác ABI = tam giác EBI, ta sẽ chứng minh ABF = EBF và AFI = EFI.

Vì ABF = 90 độ (do tam giác ABC vuông tại A) và ABF = EBF (vì BE = BA), ta có ABF = EBF.

Vì AFI = EFI (do đường thẳng vuông góc với BC tại E cắt cạnh AC tại I), ta có AFI = EFI.

Do đó, tam giác ABI = tam giác EBI theo định nghĩa tam giác cân.

Từ đó, ta suy ra IA = IE vì các cạnh đối của hai tam giác cân bằng nhau.

B) Tam giác IFC là tam giác vuông tại F. Điều này suy ra từ việc IF là đường cao của tam giác vuông ABC.

C) Để chứng minh BI vuông góc với FC, ta cần chứng minh tam giác BFC là tam giác vuông tại F.

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A và AE // FC, ta có BFC = BAC = 90 độ.

Do đó, tam giác BFC là tam giác vuông tại F.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có: AB^2 + AC^2 = 2 * BC^2.

Mà BE = BA nên ta có: AE = AB + BE = 2AB.

Gọi H là trung điểm của cạnh CE, khi đó ta có:

• BH song song với AE và BH = 2/3 * AE = 4/3 * AB.
• Tam giác AIB vuông tại A nên AI^2 = AB * AC.
• Tam giác EBI vuông tại B nên EI^2 = BE * EC = AB * (AC + BC).

Do tam giác ABI bằng tam giác EBI nên ta có:

• AI / AB = EI / BE.
• Từ đó suy ra: AI^2 = AB * EI = AB * (AB + AC + BC).

Kết hợp với AB^2 + AC^2 = 2 * BC^2, ta có:

AI^2 = AB^2 + AC^2 + 2 * AB * BC = (AB + BC)^2 = AC^2.

Vậy, ta có AI = IE.

Từ đó, ta có tam giác AIE cân tại I.

Xét tam giác IFC, ta có:

• IF vuông góc với BC, IE vuông góc với AC nên IF || AE.
• Từ đó suy ra: tam giác IFC bằng tam giác AEF (do có hai góc vuông bằng nhau).

Vậy, tam giác IFC cũng vuông tại F.