a) Chứng minh: Tứ giác AMON nội tiếp đường tròn.

Ta có tiếp tuyến AM và AN của đường tròn tại các điểm M và N. Vì OA là đường phân giác góc MON (do đường phân giác góc tại tiếp điểm của tiếp tuyến là đường chung của hai nửa mặt cầu), nên ta có:

∠OAM = ∠OAN

Do đó, tứ giác AMON có hai góc đối nhau bằng nhau, tức là tứ giác AMON là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh AM = AB . AC.

Ta có:

∠AMN = ∠AON (do AMON là tứ giác nội tiếp đường tròn)
∠AMB = ∠ACB (đường tiếp tuyến AM và dây BC cắt nhau tại B)
∠ANM = ∠ABC (đường tiếp tuyến AN và dây BC cắt nhau tại C)

Vì tứ giác AMON nội tiếp đường tròn, nên ta có:

∠A />
Vậy, ta có:

∠AMB + ∠ANM = ∠ACB + ∠ABC

Vì tổng hai góc đối nhau của tứ giác AMBC bằng 180°, nên ta có:

∠AMB + ∠ANM = 180°

Do đó:

∠ACB + ∠ABC = 180°

Vì ∠ACB + ∠ABC là hai góc đối nhau của tam giác ABC, nên tam giác ABC là tam giác cân.

Vậy, ta có:

AM = AB = AC

Tính độ dài dây BC:

Vì tam giác ABC là tam giác cân, ta có:

AB = AC = 4cm

Vì AN = 6cm, ta có:

BC = BN + NC = AN + AC = 6cm + 4cm = 10cm

Vậy, độ dài dây BC là 10cm.