a) Để chứng minh tứ giác AEHB nội tiếp, ta cần chứng minh góc EHB bằng góc EAB.

Vì tam giác ABC vuông tại A và AH vuông góc với BC, ta có:
Góc EHB = Góc AHB (1) (Cùng là góc vuông)
Góc EAB = Góc CAB (2) (Cùng là góc nhọn)
Vì tam giác ABC vuông tại A và nội tiếp đường tròn (O), ta có:
Góc CAB = Góc CNB (3) (Cùng chắn cung CB trên đường tròn)
Vì tam giác ABC vuông tại A và AO cắt đường tròn (O), ta có:
Góc AHB = Góc ANB (4) (Cùng là góc nghiêng)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: Góc EHB = Góc EAB
Do đó, tứ giác AEHB là tứ giác nội tiếp.

b) Để chứng minh BH.AN = AB.NC, ta sử dụng định lý tỷ lệ cắt của đường tròn (hay định lý Euclid) trên đường tròn (O). 

Áp dụng định lý Euclid trên đường tròn (O) cho các đường thẳng AN, BH, và đường tròn (O) thì ta có:
BH.AN = AB.NC
Vậy BH.AN = AB.NC.

c) Để chứng minh HE song song với CN, ta sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp.

Vì tứ giác AEHB nội tiếp, ta có:
Góc AHB = Góc EAB (5) (Cùng là góc nhọn)
Góc HCB = Góc EAB (6) (Cùng chắn cung EB trên đường tròn)
Từ (5) và (6) suy ra: Góc AHB = Góc HCB
Do đó, HE song song với CN.

d) Để chứng minh AM vuông góc với IJ, ta sử dụng tính chất của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp.

Vì AHB nội tiếp và AHC ngoại tiếp, ta có:
Góc AHM = Góc ABM (7) (Cùng chắn cung AM trên đường tròn nội tiếp tam giác AHB)
Góc AJM = Góc ACM (8) (Cùng chắn cung AM trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC)
Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có:
Góc ABM = Góc ACM (9) (Cùng là góc vuông)
Từ (7), (8),

 (9) suy ra: Góc AHM = Góc AJM
Do đó, AM vuông góc với IJ.