a) Để chứng minh tứ giác KAOH nội tiếp được trong đường tròn, ta cần chứng minh góc KAH và góc KOH là cùng nhìn về cùng một phía.

Vì KA và KB là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc KAO và góc KBO là góc vuông. Từ đó, ta có:
góc KAH = 90° - góc KAO
góc KOH = 90° - góc KBO

Vì góc KAO và góc KBO là cùng nhìn về cùng một phía (vì A và H nằm về hai phía của đường thẳng OK), nên góc KAH và góc KOH cũng cùng nhìn về cùng một phía. Do đó, tứ giác KAOH nội tiếp được trong đường tròn.

b) Để chứng minh IA - IB = IH - IO và I là điểm cố định khi điểm K chạy trên đường thẳng d cố định, ta cần chứng minh IA - IB và IH - IO đều không phụ thuộc vào vị trí của điểm K trên đường thẳng d.

Gọi M là trung điểm của hai điểm A và B. Ta có:
IA - IB = IA - IM + IM - IB

Vì KA và KB là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo định lí hai tiếp tuyến, ta có KA = KB. Do đó, IM là đường trung bình của tam giác KAB và cắt AB ở trung điểm M. Vì vậy, IM = IA - IB.

Thay vào biểu thức trên, ta có:
IA - IB = (IA - IM) + (IM - IB) = AM + BM

Tương tự, ta có:
IH - IO = (IH - IM) + (IM - IO) = HM + MO

Vì A, B, H, O là các điểm cố định trong bài toán, nên AM + BM và HM + MO đều không phụ thuộc vào vị trí của điểm K trên đường thẳng d. Do đó, ta có IA - IB = IH - IO và I là điểm cố định khi điểm K chạy trên đường thẳng d cố định.