Để chứng minh rằng dãy số Un là dãy giảm, ta cần chứng minh rằng Un > Un+1 với mọi n.

Ta có:

Un - Un+1 = (2n - căn(4n² - 1)) - (2(n+1) - căn(4(n+1)² - 1))

= 2n - căn(4n² - 1) - 2n - 2 + căn(4n² + 8n + 3)

= -2 + căn(4n² + 8n + 3) - căn(4n² - 1)

Ta sẽ chứng minh rằng -2 + căn(4n² + 8n + 3) - căn(4n² - 1) < 0 với mọi n.

Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng căn(4n² + 8n + 3) - căn(4n² - 1) > 2 với mọi n.

Bằng cách bình phương cả hai vế, ta có:

4n² + 8n + 3 + 4n² - 1 - 2căn[(4n² + 8n + 3)(4n² - 1)] > 4

8n² + 2 > 2căn[(4n² + 8n + 3)(4n² - 1)]

16n⁴ + 64n³ + 60n² + 12n + 4 > 16n⁴ + 32n³ - 16n² - 12n³ - 24n² - 12n + 3

76n³ + 84n² + 24n + 1 > 0

Điều này là đúng với mọi n, vì vậy ta có:

Un - Un+1 < 0

Do đó, dãy số Un là dãy giảm.