Bài 3:
abab = 1000a + 100b + 10a + b = 1001a + 101b = 7 x 11 x 13a + 101b.
Vì số ab chia hết cho cả 2, 3, 5, 9 nên ta có thể tìm được giá trị của a.

• Số ab chia hết cho 2 nên số b phải là số chẵn.
• Số ab chia hết cho 5 nên số b phải là 0 hoặc 5.
• Số ab chia hết cho 3 và 9 nên tổng các chữ số của ab chia hết cho 3 và 9. Vì a + b chia hết cho 3 và 9, nên ta chỉ cần xét các trường hợp sau:
  • a = 0, b = 9: ab = 90 chia hết cho 9 và 3.
  • a = 1, b = 8: ab = 18 chia hết cho 9 và 3.
  • a = 2, b = 7: ab = 27 không chia hết cho 9, nhưng chia hết cho 3.
  • a = 3, b = 6: ab = 36 chia hết cho 9 và 3.
  • a = 4, b = 5: ab = 45 chia hết cho 9 và 3.
  • a = 5, b = 4: ab = 54 không chia hết cho 9, nhưng chia hết cho 3.
  • a = 6, b = 3: ab = 63 chia hết cho 9 và 3.
  • a = 7, b = 2: ab = 72 không chia hết cho 9, nhưng chia hết cho 3.
  • a = 8, b = 1: ab = 81 chia hết cho 9 và 3.

Từ các trường hợp trên, ta thấy chỉ có a = 0, 1, 3, 4, 6, 9 là thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Với mỗi giá trị của a, ta tính được giá trị của ab và kiểm tra xem số abab có chia hết cho 7, 11 và 13 hay không. Nếu số abab chia hết cho 7, 11 và 13 thì đó là số lớn nhất thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

• Khi a = 0, ab = 90, số abab = 9090 không chia hết cho 7.
• Khi a = 1, ab = 18, số abab = 1818 không chia hết cho 7.
• Khi a = 3, ab = 36, số abab = 3636 chia hết cho 7, 11 và 13.
• Khi a = 4, ab = 45, số abab = 4545 không chia hết cho 7.
• Khi a = 6, ab = 63, số abab = 6363 không chia hết cho 7.
• Khi a = 9, ab = 99, số abab = 9999 không chia hết cho 7.

Vậy số lớn nhất thỏa mãn yêu cầu của đề bài là 3636.