Để chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng các cặp cạnh đối song song.

Ta có:
- AH là đường cao của tam giác ABD, nên AH vuông góc với BD.
- CK là đường cao của tam giác CBD, nên CK vuông góc với BD.

Vậy ta có AH ⊥ BD và CK ⊥ BD.

Để chứng minh AHCK là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng các cặp cạnh đối song song, tức là AH || CK và AC || HK.

Ta có:
- AH ⊥ BD và CK ⊥ BD, nên AH || CK (do hai đường thẳng vuông góc với cùng một đường thẳng thì song song với nhau).
- AC là đường chéo của hình bình hành ABCD, nên AC chia BD thành hai đoạn bằng nhau.
- AH là đường cao của tam giác ABD, nên AH chia BD thành hai đoạn bằng nhau.
- Tương tự, CK cũng chia BD thành hai đoạn bằng nhau.
- Vậy ta có AH = CK.

Vậy ta có AH || CK và AH = CK, nên tứ giác AHCK là hình bình hành.