Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Gọi M, N, P là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD. Gọi I = AG ⁠∩ MP và J = CM ⁠∩ AN. Tìm giao tuyến của CMD và AND. Chứng minh rằng ba điểm D, I, J thẳng hàng

Để tìm giao tuyến của CMD và AND, ta cần tìm giao điểm của hai đường thẳng CM và AN.

Ta biết rằng M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC của tam giác ABC. Vì vậy, ta có MN song song với AC và có độ dài bằng một nửa độ dài AC.

Vì G là trọng tâm của tam giác BCD, ta có BG = 2GM và GD = 2GC. Từ đó, ta có BM = BG - GM = 2GM - GM = GM và DM = GD - GM = 2GC - GM = GM.

Do đó, ta có MD song song với BC và có độ dài bằng một nửa độ dài BC.

Vậy, ta có hai đường thẳng MN và MD song song và có độ dài bằng nhau. Do đó, hai đường thẳng MN và MD trùng nhau.

Tương tự, ta có hai đường thẳng NP và NA trùng nhau.

Vậy, giao tuyến của CMD và AND là đường thẳng MN.

Để chứng minh rằng ba điểm D, I, J thẳng hàng, ta sẽ sử dụng định lí Menelaus.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với đường thẳng đi qua điểm G, ta có:
$\frac{AI}{IG} \cdot \frac{GM}{MB} \cdot \frac{BD}{DA} = 1$

Vì M là trung điểm của AB, nên $\frac{GM}{MB} = 1$. Vì G là trọng tâm của tam giác BCD, nên $\frac{BD}{DA} = 2$.

Do đó, ta có $\frac{AI}{IG} = \frac{1}{2}$.

Tương tự, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác CDA với đường thẳng đi qua điểm G, ta có:
$\frac{CJ}{JG} \cdot \frac{GD}{DB} \cdot \frac{BA}{AC} = 1$

Vì N là trung điểm của BC, nên $\frac{CJ}{JG} = 1$. Vì G là trọng tâm của tam giác BCD, nên $\frac{GD}{DB} = 2$.

Do đó, ta có $\frac{CJ}{JG} = \frac{1}{2}$.

Từ hai phương trình trên, ta có $\frac{AI}{IG} = \frac{CJ}{JG}$. Vậy, ba điểm D, I, J thẳng hàng.