Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác góc B cắt AC tại E. Đường thằng qua E vuông góc với BC tại D và cắt tia BA tại F

a) Ta có góc EAB là góc phân giác của góc B nên góc EAB = góc EBA. (1)
Tương tự, góc EDB là góc phân giác của góc B nên góc EDB = góc EBD. (2)
Từ (1) và (2), ta có góc EAB = góc EDB.
Do đó, tam giác EAB = tam giác EDB.

b) Ta có góc EAB = góc EDB (vì đã chứng minh ở câu a).
Góc EAB = góc EDB = góc EBD (vì tam giác EDB là tam giác cân).
Do đó, tam giác EAB = tam giác EBD = tam giác EBF (vì BF là cạnh chung và góc EBF = góc EBD).
Từ đó, ta có EA = EB (vì tam giác EAB = tam giác EBF) và EC = EB (vì tam giác EBF = tam giác EBD).
Vậy, EA = EC.

c) Ta có góc EAB = góc EDB (vì đã chứng minh ở câu a).
Góc EAB = góc EDB = góc EBD (vì tam giác EDB là tam giác cân).
Góc EBD = góc FBC (vì BF là cạnh chung và góc EBF = góc EBD).
Do đó, góc EAB = góc FBC.
Tương tự, ta có góc EBA = góc FCB.
Vậy, tam giác EAB và tam giác FBC có cặp góc đồng nhất.
Do đó, tam giác EAB ~ tam giác FBC (theo góc - góc - góc).
Từ đó, ta có OA/OF = EA/FC (theo định lí đồng dạng tam giác).
Vì EA = EC (theo câu b), nên OA/OF = EC/FC.
Tương tự, ta có OD/OF = EC/FC.
Vậy, OA = OD.

d) Ta có góc EAB = góc EDB (vì đã chứng minh ở câu a).
Góc EAB = góc EDB = góc EBD (vì tam giác EDB là tam giác cân).
Góc EBD = góc FBC (vì BF là cạnh chung và góc EBF = góc EBD).
Do đó, góc EAB = góc FBC.
Tương tự, ta có góc EBA = góc FCB.
Vậy, tam giác EAB và tam giác FBC có cặp góc đồng nhất.
Do đó, tam giác EAB ~ tam giác FBC (theo góc - góc - góc).
Từ đó, ta có góc BFC = góc BAC (vì tam giác EAB ~ tam giác FBC).
Vậy, BO vuông góc với FC (vì góc BFC = góc BAC và tam giác ABC vuông tại A).