a) Độ dài dây EH:

Với OM = 3 cm và R = 5 cm, ta có: AE = EM = R - OM = 5 - 3 = 2 cm.

Theo định lý về tiếp tuyến và tiếp điểm, ta có:

EH = 2 * AE = 2 * 2 = 4 cm.

b) Chứng minh AH là tiếp tuyến của đường tròn (O):

Vì AE và EH là tiếp tuyến với đường tròn (O) tại E, nên theo định lý về tiếp tuyến và tiếp điểm, ta có: AE ⊥ OE và EH ⊥ OH.

Nhưng vì EH song song với AO (vì EH vuông góc với AO tại M), nên AE cũng vuông góc với AO. Do đó, AH cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A.

c) Chứng minh ba điểm E, O, F thẳng hàng và BF . AE = R²:

Ta biết rằng AH là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A (theo phần b). Do đó, góc BAO = góc BAF (góc chắn cung cùng nhìn bằng nhau).

Vì OB ⊥ OA (do OB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B), nên góc BAO = 90°.

Do đó, góc BAF cũng là góc vuông. Vì BF là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, nên BF ⊥ OA.

Từ đó suy ra ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Bởi vì BF là tiếp tuyến tại B, nên BF . BA = R² (định lý về tiếp tuyến và tiếp điểm).

Ta đã chứng minh ở phần a rằng AE = EM = 2 cm, nên BA = BE = 2 cm.

Vậy, BF . AE = R².

d) Chứng minh AE = DO:

Vì OB ⊥ OA (do OB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B), nên góc OBA = 90°.

Do đó, góc OBI = góc OBA + góc ABI = 90° + 90° = 180°.

Từ đó suy ra O, B, I thẳng hàng.

Vì BF là tiếp tuyến tại B và OB ⊥ BF, nên OBF = 90°.

Do O, B, I thẳng hàng, nên OBI = OBF = 90°.

Vì OB = R = 5 cm, nên OBI = OBF = 90° và OB = OF = R.

Ta đã chứng minh ở phần a rằng AE = 2 cm và BF . AE = R², nên BF = R.

Từ BF = R và OB = OF = R, suy ra OBF và OEF là các tam giác đều.

Kết hợp OBI = 90° và OBF = 90°, suy ra OBIF là hình bình hành.

Do đó, AE = DO (vì OB = OF và I, F, D thẳng hàng).