Câu 1:
Để chứng minh rằng (2019^20 + 19 + 2021^2020) : 2020,
ta cần chia tử và mẫu cho 2020 và kiểm tra xem kết quả có phải là số nguyên hay không.
Ta có: (2019^20 + 19 + 2021^2020) : 2020 = (2019^20 : 2020) + (19 : 2020) + (2021^2020 : 2020)
Để chứng minh rằng (2019^20 : 2020) là số nguyên, ta cần kiểm tra xem 2019^20 có chia hết cho 4 và 505 hay không.
Nếu nó chia hết cho cả hai số này, thì (2019^20 : 4) và (2019^20 :505) đều là số nguyên.
Tương tự, để kiểm tra (19:2) và (19:101), ta cần xác định xem 19 có phải là số lẻ hay không.
Tương tự như trên, để kiểm tra (20021 ^2002):101, ta cần tìm hiệu của các dãy con liên tiếp gồm hai phần tử trong dãy Fibonacci modulo 101.
Nếu tất cả các hiệu này khác nhau modulo 101, thì sự chia lấy dư của một bất kỳ lũy thừa nào của 2021 cho 101 sẽ không bao giờ là 0. Tuy nhiên, việc kiểm tra tất cả các điều kiện này rất phức tạp và mất thời gian.
Do đó, để chứng minh rằng (2019^20 + 19 + 2021^2020) : 2020 là số nguyên, ta có thể sử dụng tính chất của phép chia.
Ta biết rằng nếu một số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b, và số tự nhiên c cũng chia hết cho số tự nhiên b, thì tổng hoặc hiệu của hai số đó cũng sẽ chia hết cho b.
Vì vậy, ta chỉ cần kiểm tra xem (2019^20 + 19 + 2021^2020) có chia hết cho 2020 hay không.
Câu 2:
Để tìm các số tự nhiên n sao cho (n+24) và (n-65) là các số chính phương, ta cần giải phương trình: (n+24) = k^2(n-65) = m^2 Trong đó, k và m là các số nguyên.
Ta có: (n+24)-(n-65) = k^2 - m^2= (k+m)(k-m)=89
Do đó, ta cần tìm các cặp số nguyên (k+m) và (k-m) sao cho tích của chúng bằng 89.
Các cặp số nguyên thỏa mãn là: (1, 89), (-1, -89), (89, 1), (-89, -1)
Giải hệ phương trình: (k+m) = 1 và (k-m) = 89
hoặc (k+m) = -1 và (k-m) = -89
hoặc (k+m) = 89 và (k-m) = 1
hoặc (k+m) = -89 và (k-m) = -1
Từ đó ta có các giá trị của m và n, lần lượt là:
- Khi (m+k)=90, ta có m=45,
từ đó suy ra n=2025.
- Khi (m+k)=0, ta có m=0, từ đó suy ra n=-24.
- Khi (m+k)=90, ta có m=-44.5.
Vì m không phải là số tự nhiên nên không thỏa mãn. - Khi (m+k)=0, ta có m=0.
Vì m không phải là số tự nhiên nên không thỏa mãn.
Vậy các giá trị của n để (n+24) và (n−65) là số chính phương là: - n=2025 - n=-24