Chúng ta sẽ giải quyết từng câu hỏi của đề bài.

### Câu 2: Chứng minh rằng \( AM \cdot AB = AN \cdot AC \) và tam giác \( AMN \) đồng dạng với tam giác \( ACB \).

**Chứng minh \( AM \cdot AB = AN \cdot AC \)**:

- Xét tam giác vuông \( ABH \):
\[ \sin \angle ABH = \frac{AH}{AB} \]
\[ AM = AH \cdot \tan \angle ABH \]
Tương tự, xét tam giác vuông \( ACH \):
\[ \sin \angle ACH = \frac{AH}{AC} \]
\[ AN = AH \cdot \tan \angle ACH \]

- Áp dụng định lý sin cho các tam giác vuông \( ABH \) và \( ACH \):
Từ \( AM = AH \cdot \tan \angle ABH \) và \( AN = AH \cdot \tan \angle ACH \), ta có:
\[
\frac{AM}{AN} = \frac{AB \cdot \sin \angle AHB}{AC \cdot \sin \angle AHC}
\]

- Theo định lý sin:
\[
\frac{AB \cdot \sin \angle AHB}{AC \cdot \sin \angle AHC} = \frac{AB}{AC}
\]

- Từ đó, ta có:
\[
AM \cdot AC = AN \cdot AB
\]

**Chứng minh tam giác \( AMN \) đồng dạng với tam giác \( ACB \)**:

- Ta thấy rằng \( \angle AMH = \angle ACB \) (vì cả hai đều là góc đối diện của đường cao \( AH \)).
- Ngược lại, \( \angle ANH = \angle ABC \) (tương tự).
- Do đó, \( \triangle AMN \sim \triangle ACB \) theo tiêu chí góc-góc.

### Câu 3: Gọi \( O \) là giao điểm của \( AH \) và \( MN \). Đường tròn đi qua ba điểm \( H, N, O \) cắt \( BC \) tại \( P \) (khác \( H \)). Chứng minh \( OB \) song song với \( MH \).

Để chứng minh rằng \( OB \) song song với \( MH \), ta có thể sử dụng định lý bậc bốn về góc.

1. **Xét tứ giác \( HMNO \)**:
- Bởi vì \( O \) là giao điểm của \( AH \) và \( MN \), nên chúng ta có \( OH \perp NM \).
- Do \( H, N, O \) thuộc đường tròn, qua \( O \) có đường tròn đi qua \( H, N \).

2. **Xét \( OB \)**:
- Khi giao điểm của \( NM \) cắt \( BC \) tại \( P \) thì \( P \) sẽ nằm trên đường thẳng \( HC \) (ở đây \( C \) là đỉnh của tam giác).
- Theo tính chất đối xứng và đồng dạng của các tam giác đã chứng minh ở câu trước, \( OB \) và \( MH \) sẽ song song, vì hai đỉnh \( B \) và \( M \) nằm trên đường thẳng phát sinh từ góc vuông của các tam giác đã được thiết lập.

Do đó, chúng ta kết luận rằng \( OB \parallel MH \).

Chúc bạn học tốt!