Để chứng minh x = y = z, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử x ≠ y ≠ z, ta sẽ chứng minh rằng giả định này dẫn đến mâu thuẫn.

Từ giả định x ≠ y ≠ z, ta có thể giả sử x > y > z mà không mất tính tổng quát.

Vì x + y + z = 0, ta có x + y = -z.

Từ xy + yz + zx = 0, ta có xy = -yz - zx.

Vì x > y > z, ta có xy < 0 và -yz - zx > 0.

Từ đó suy ra mâu thuẫn, vì không thể có một số thực âm nhân với một số thực dương mà kết quả lại là một số thực dương.

Vì vậy, giả định x ≠ y ≠ z dẫn đến mâu thuẫn.

Do đó, ta kết luận rằng x = y = z.