Chứng minh rằng biểu thức A không phụ thuộc vào biến x biết:

a, Để chứng minh rằng biểu thức A không phụ thuộc vào biến x, ta cần chứng minh rằng A không thay đổi khi x thay đổi.

Ta có A = (x-2y)(x^2+2xy+4y^2) - x(x^2-4y) + 4y(2y^2-x)

= x(x^2+2xy+4y^2) - 2y(x^2+2xy+4y^2) - x(x^2-4y) + 8y^3 - 4xy

= x^3 + 2x^2y + 4xy^2 - 2xy^2 - 4y^3 - x^3 + 4xy + 8y^3 - 4xy

= 2x^2y + 4xy^2 - 2xy^2 - 4y^3 + 8y^3

= 2x^2y + 2xy^2 + 4y^3

= 2y(x^2 + xy + 2y^2)

Biểu thức A chỉ chứa các hạng tử có y, không có x. Do đó, A không phụ thuộc vào biến x.

b, Để đa thức x^3 + x^2 - x + a chia hết cho đa thức x + 2, ta cần tìm giá trị a sao cho x + 2 là một ước của đa thức.

Áp dụng định lý chia đa thức, ta có:

x^3 + x^2 - x + a = (x + 2)(x^2 - x + b) + c

Trong đó, b là hệ số của x^2, c là hệ số tự do.

So sánh các hạng tử tương ứng, ta có:

x^3 = x(x^2) = (x + 2)(x^2) = x^2 - 2x^2 = -x^2

x^2 = x(x) = (x + 2)(x) = x^2 + 2x = 2x

-x = (x + 2)(-1) = -x - 2

a = c

So sánh hệ số tự do, ta có:

a = c = -2b

Vậy, để đa thức x^3 + x^2 - x + a chia hết cho đa thức x + 2, ta cần chọn giá trị a sao cho a = -2b.