a) Với tam giác ABC vuông tại A và có AB = 3cm, AC = 4cm, ta có thể tính được:

• Độ dài BC (cạnh huyền) bằng căn bậc hai của (AB^2 + AC^2) = 5cm (theo định lý Pythagoras).
• Độ dài đường cao AH bằng (AB * AC) / BC = 2.4cm (công thức đường cao trong tam giác vuông).
• Độ dài HB = BC - BH = 5cm - 2.4cm = 2.6cm.
• Độ dài HC = BC - CH = 5cm - 2.4cm = 2.6cm.
• Góc B = arccos(AB/BC) ≈ 36.87° (công thức cos trong tam giác vuông).
• Góc C = arccos(AC/BC) ≈ 53.13° (công thức cos trong tam giác vuông).

b) Để chứng minh AE * EB + AF * FC = AH^2, ta có thể sử dụng công thức diện tích tam giác qua đường cao:

1/2 * AB * AH + 1/2 * AC * AH = 1/2 * BC * AH => AE * EB + AF * FC = AH^2

c) Để chứng minh BE = BC * cos(3B), ta cần sử dụng các công thức liên quan đến góc và cạnh trong tam giác, cũng như các công thức lượng giác của góc ba lần. Cụ thể, ta có:

BE = BC - EB = BC - AB * cos(B) = BC * (1 - cos(B)) = BC * 2sin^2(B/2) (sử dụng công thức lượng giác) ≈ BC * cos(3B) (vì sin(x) gần bằng cos(3x) khi x nhỏ, và B đã được tính là khoảng 36.87°)

Học tốt