Để chứng minh rằng n^2 + n + 2 không chia hết cho 15 với mọi số tự nhiên n, ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng.

Giả sử rằng n^2 + n + 2 chia hết cho 15 với mọi số tự nhiên n. Điều này có nghĩa là tồn tại một số tự nhiên k sao cho n^2 + n + 2 = 15k.

Ta có thể viết lại phương trình trên thành n^2 + n + (2 - 15k) = 0.

Áp dụng công thức giải phương trình bậc 2, ta có n = (-1 ± √(1 - 4(2 - 15k))) / 2.

Để n là số tự nhiên, ta cần có √(1 - 4(2 - 15k)) là một số nguyên.

Ta thấy rằng 1 - 4(2 - 15k) = 61 - 60k = 61(1 - k) + k.

Vì 61 là số nguyên tố, nên 61 chia hết cho 1 - k hoặc k.

Nếu 61 chia hết cho 1 - k, thì 1 - k = 61 hoặc 1 - k = -61. Tuy nhiên, cả hai trường hợp này đều không thể xảy ra vì k là số tự nhiên.

Nếu 61 chia hết cho k, thì k = 61 hoặc k = -61. Tuy nhiên, cả hai trường hợp này cũng không thể xảy ra vì k là số tự nhiên.

Vậy, giả sử ban đầu là sai. Do đó, ta kết luận rằng n^2 + n + 2 không chia hết cho 15 với mọi số tự nhiên n.