Để chứng tỏ rằng hai số là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất của hai số đó là 1.

a) Ta xét hai số n+5 và n+6. Để chứng minh rằng hai số này là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất của chúng là 1.

Giả sử có một số p là ước chung của n+5 và n+6. Khi đó, ta có:
p | (n+5) và p | (n+6)

Từ đó, ta suy ra:
p | [(n+6) - (n+5)] => p | 1

Vì 1 là số nguyên tố duy nhất chỉ có hai ước là 1 và chính nó, nên p chỉ có thể là 1. Do đó, ước chung lớn nhất của n+5 và n+6 là 1. Vậy hai số này là hai số nguyên tố cùng nhau.

b) Ta xét hai số 2n+3 và n+2. Để chứng minh rằng hai số này là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất của chúng là 1.

Giả sử có một số p là ước chung của 2n+3 và n+2. Khi đó, ta có:
p | (2n+3) và p | (n+2)

Từ đó, ta suy ra:
p | [(2n+3) - 2(n+2)] => p | 1

Vì 1 là số nguyên tố duy nhất chỉ có hai ước là 1 và chính nó, nên p chỉ có thể là 1. Do đó, ước chung lớn nhất của 2n+3 và n+2 là 1. Vậy hai số này là hai số nguyên tố cùng nhau.

c) Ta xét hai số 3n+1 và 4n+1. Để chứng minh rằng hai số này là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất của chúng là 1.

Giả sử có một số p là ước chung của 3n+1 và 4n+1. Khi đó, ta có:
p | (3n+1) và p | (4n+1)

Từ đó, ta suy ra:
p | [(4n+1) - 4(3n+1)] => p | 1

Vì 1 là số nguyên tố duy nhất chỉ có hai ước là 1 và chính nó, nên p chỉ có thể là 1. Do đó, ước chung lớn nhất của 3n+1 và 4n+1 là 1. Vậy hai số này là hai số nguyên tố cùng nhau.

d) Ta xét hai số 3n+4 và 2n+3. Để chứng minh rằng hai số này là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất của chúng là 1.

Giả sử có một số p là ước chung của 3n+4 và 2n+3. Khi đó, ta có:
p | (3n+4) và p | (2n+3)

Từ đó, ta suy ra:
p | [(2n+3) - 2(3n+4)] => p | -17n - 5

Vì -17n - 5 không phải là một số nguyên tố, nên không có số nguyên tố nào có thể là ước chung của 3n+4 và 2n+3. Do đó, ước chung lớn nhất của hai số này là 1. Vậy hai số này là hai số nguyên tố cùng nhau.