a) Tứ giác AMDN là hình chữ nhật.

Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng các cạnh của tứ giác AMDN đều bằng nhau và các đường chéo của nó giao nhau tại trung điểm.

- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AB = AC.
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Do đó, góc BAN = góc CAN = 45 độ.
- Vì góc BAN = góc CAN = 45 độ, nên tam giác BAN cân tại N. Do đó, BN = AN.
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Do đó, góc BAD = góc CAD = 45 độ.
- Vì góc BAD = góc CAD = 45 độ, nên tam giác BAD cân tại M. Do đó, BM = AM.

Từ các điều trên, ta có AB = AC, BN = AN, BM = AM. Vậy tứ giác AMDN là hình chữ nhật.

b) Chứng minh ABKC là hình chữ nhật.

- Vì DA = DK, nên tam giác DAK là tam giác cân tại A. Do đó, góc DAK = góc DKA.
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Do đó, góc BAK = góc DAK + góc DAB = góc DKA + góc DAB = góc BDA.
- Vì góc BAK = góc BDA, nên tam giác BAK bằng tam giác BDA.
- Vì tam giác BAK bằng tam giác BDA, nên AB = BD.
- Vì tam giác BAK bằng tam giác BDA, nên góc BAK = góc BDA = 90 độ.
- Vì AB = BD và góc BAK = 90 độ, nên ABKC là hình chữ nhật.

Vậy, ta đã chứng minh được ABKC là hình chữ nhật.