a) Vì ∆ABC vuông tại A, nên đường cao AH là đường cao của ∆ABC.

Theo định nghĩa, đường cao AH là đoạn thẳng vuông góc với cả AB và BC.

Vì AB = 15 cm và BC = 20 cm, nên ta có:

AH² + BH² = AB² (theo định lý Pythagoras)

AH² + CH² = BC² (theo định lý Pythagoras)

Vì ∆ABC vuông tại A, nên BH = CH.

Do đó, ta có hệ phương trình:

AH² + BH² = AB²

AH² + AH² = BC²

2AH² = AB² + BC²

2AH² = 15² + 20²

2AH² = 225 + 400

2AH² = 625

AH² = 625/2

AH = √(625/2)

AH = √(625) / √(2)

AH = 25 / √(2)

AH = 25√2 / 2

Vậy AH = 12.5√2 cm.

b) Vì ∆ABC vuông tại A, nên đường cao AH là đường cao của ∆ABC.

Vì AH là đường cao của ∆ABC, nên AH vuông góc với BC.

Do đó, CH = BC - BH = BC - AH = 20 - 12.5√2 cm.

c) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.

Vì ∆ABC vuông tại A, nên đường cao AH là đường cao của ∆ABC.

Vì AH là đường cao của ∆ABC, nên AH vuông góc với AB và AH vuông góc với AC.

Vậy E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.

Theo định nghĩa, hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng là giao điểm của đường thẳng vuông góc với đường thẳng đó và điểm đó.

Do đó, ta có:

AH² = AE² + EH² (theo định lý Pythagoras)

AH² = AF² + FH² (theo định lý Pythagoras)

Vì EH = FH (vì E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC), nên ta có:

AE² = AF²

Do đó, ta có:

AH² = AE² + EH²

AH² = AE² + FH²

AH² = 2AE²

Vậy AH³ = AH² * AH = 2AE² * AH = 2AE * AE * AH = 2AE * (AE * AH) = 2AE * (BE * CF) (vì AE * AH = BE * CF)

Vậy AH³ = 2AE * BE * CF.

Vì AH³ = BC * BE * CF, nên ta có:

2AE * BE * CF = BC * BE * CF

2AE = BC

Vậy AH³ = BC * BE * CF.