a) Tứ giác AEMF là tứ giác cân vì AE = AF (do H là điểm đối xứng của M qua AB) và EM = FM (do M là trung điểm của AB). Tứ giác AMBH là tứ giác bình thường vì AB = AH (do H là điểm đối xứng của M qua AB). Tứ giác AMCK cũng là tứ giác bình thường vì AC = AK (do K là điểm đối xứng của M qua AC).

b) Để chứng minh H đối xứng với K qua A, ta cần chứng minh AH = AK và góc AHK = 180° - góc HAK.

Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên AM = \frac{1}{2}BC.

Vì H là điểm đối xứng của M qua AB, nên AH = AM = \frac{1}{2}BC.

Tương tự, vì K là điểm đối xứng của M qua AC, nên AK = AM = \frac{1}{2}BC.

Vậy AH = AK.

Góc AHK = góc AHM + góc MKA = góc AMH + góc MKA = góc AMK = góc HAK.

Vậy H đối xứng với K qua A.

c) Để tứ giác AEMF là hình vuông, ta cần chứng minh AE = AF và góc EAF = 90°.

Vì H là điểm đối xứng của M qua AB, nên AH = AM = \frac{1}{2}BC.

Vì K là điểm đối xứng của M qua AC, nên AK = AM = \frac{1}{2}BC.

Vậy AH = AK.

Góc EAF = góc EAM + góc MAK + góc KAF = góc EAM + góc MAE + góc KAF = góc EAM + góc EMA + góc KAF = góc EAK + góc KAF = góc EAF.

Vậy góc EAF = 90°.

Vậy tam giác ABC cần thêm điều kiện là góc BAC = 90° để tứ giác AEMF là hình vuông.