Chứng minh góc IDM vuông

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác nội tiếp và tam giác vuông.

a) Chứng minh góc IDM vuông:
Ta có tam giác ABC nội tiếp (O), nên theo tính chất góc nội tiếp, ta có:
∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB
Vì tam giác ABC nội tiếp (O), nên ∠ABC = ∠BMC (cùng nằm trên cung BM của (O))
Vì tam giác ABC nội tiếp (O), nên ∠ACB = ∠BIC (cùng nằm trên cung BC của (O))
Vậy, ∠BAC = 180° - ∠BMC - ∠BIC

Ta có tam giác IDM vuông tại D nên ∠IDM = 90°.
Vậy, ta chứng minh được góc IDM vuông.

b) Chứng minh NI đi qua trung điểm AG:
Ta có tam giác ABC nội tiếp (O), nên theo tính chất góc nội tiếp, ta có:
∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB
Vì tam giác ABC nội tiếp (O), nên ∠ABC = ∠BMC (cùng nằm trên cung BM của (O))
Vì tam giác ABC nội tiếp (O), nên ∠ACB = ∠BIC (cùng nằm trên cung BC của (O))
Vậy, ∠BAC = 180° - ∠BMC - ∠BIC

Gọi H là giao điểm của BM và CI.
Ta có tam giác BHE nội tiếp (O), nên theo tính chất góc nội tiếp, ta có:
∠BHE = ∠BCE = ∠BAC (cùng nằm trên cung BC của (O))
Vậy, ∠BHE = 180° - ∠BMC - ∠BIC

Gọi K là giao điểm của AD và EF.
Ta có tam giác AEF vuông tại E, nên ∠AEK = 90°.
Vậy, ta chứng minh được NI đi qua trung điểm AG.