a) Ta có tứ giác ABCH là tứ giác nội tiếp đường tròn. Do đó, theo định lí Ptolemy, ta có:
AB.CH + AC.BH = AH.BC
Vì AB // CH và AC // BH, nên ta có:
AB.CH = AC.BH
Do đó, ta có AB = AC, suy ra B = C.
Vậy D là trung điểm của BC.

b) Ta có tứ giác OIKH là tứ giác nội tiếp đường tròn. Do đó, theo định lí Ptolemy, ta có:
OI.KH + OH.IK = OK.IH
Vì OI // KH, nên ta có OI.KH = OH.IK.
Vậy OK.OH = OI.OM.

c) Ta có tứ giác OIKM là tứ giác nội tiếp đường tròn. Do đó, theo định lí Ptolemy, ta có:
OI.KM + OK.IM = OI.OK + OM.IK
Vì OI // KM, nên ta có OI.KM = OI.OK.
Vậy OK.IM = OM.IK.
Từ đó, ta có ME/AM = EI/AI.

d) Để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm điểm M sao cho ME/AM đạt giá trị lớn nhất. Ta có:
ME/AM = EI/AI (theo phần c)
Vậy ta cần tìm điểm M sao cho EI/AI đạt giá trị lớn nhất.
Điểm M nằm trên đường thẳng (d), nên ta cần tìm điểm M sao cho OM cắt đường tròn tại E sao cho OE là đường cao của tam giác OAI.
Vì tam giác OAI là tam giác vuông tại A, nên đường cao OE cũng là đường trung bình của tam giác OAI.
Vậy điểm M cần tìm là điểm trên đường thẳng (d) sao cho OM là đường trung bình của tam giác OAI.