Để biểu thức luôn dương, ta cần xét điều kiện để hàm số \(f(x) = (m+2)x^2+2(m+2)x+m+3\) luôn dương.

Để hàm số luôn dương, ta cần xét 2 trường hợp sau:

1. Trường hợp 1: Hệ số \(a = m+2 > 0\)
Trong trường hợp này, hàm số \(f(x)\) là một hàm bậc hai có hệ số \(a\) dương. Điều này đảm bảo rằng đồ thị của hàm số \(f(x)\) mở lên và không cắt trục hoành.

2. Trường hợp 2: Hệ số \(a = m+2 = 0\)
Trong trường hợp này, hàm số \(f(x)\) trở thành một hàm bậc nhất. Để hàm số \(f(x)\) luôn dương, ta cần xét hệ số \(b = 2(m+2) > 0\). Điều này đảm bảo rằng đồ thị của hàm số \(f(x)\) nghiêng về phía trên và không cắt trục hoành.

Tóm lại, để biểu thức \((m+2)x^2+2(m+2)x+m+3\) luôn dương, ta cần thỏa mãn điều kiện \(m+2 > 0\) hoặc \(m+2 = 0\) và \(2(m+2) > 0\).