Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B

Để tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B, ta có thể sử dụng định nghĩa và tính chất của tam giác vuông cân.

### Bước 1: Xác định tọa độ điểm B

Cho điểm B có tọa độ \( B(1; 1) \).

### Bước 2: Tính khoảng cách giữa A và B

Tọa độ điểm A là \( A(2; 4) \). Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm:

\[
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}
= \sqrt{(1 - 2)^2 + (1 - 4)^2}
= \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2}
= \sqrt{1 + 9}
= \sqrt{10}
\]

### Bước 3: Tính tọa độ điểm C

Vì tam giác ABC vuông cân tại B, ta có:

- Khoảng cách BC = AB
- Khoảng cách AC = AB

Giả định tọa độ điểm C là \( C(x_C; y_C) \).

Theo định nghĩa, ta có:
1. \( BC = \sqrt{(x_C - 1)^2 + (y_C - 1)^2} = \sqrt{10} \)
2. \( AC = \sqrt{(x_C - 2)^2 + (y_C - 4)^2} = \sqrt{10} \)

### Bước 4: Thiết lập phương trình

Từ \( BC = \sqrt{10} \):

\[
(x_C - 1)^2 + (y_C - 1)^2 = 10 \quad (1)
\]

Từ \( AC = \sqrt{10} \):

\[
(x_C - 2)^2 + (y_C - 4)^2 = 10 \quad (2)
\]

### Bước 5: Giải hệ phương trình

Giải hai phương trình (1) và (2):

1. Từ phương trình (1):

\[
(x_C - 1)^2 + (y_C - 1)^2 = 10
\]
Mở rộng phương trình:
\[
x_C^2 - 2x_C + 1 + y_C^2 - 2y_C + 1 = 10
\]
\[
x_C^2 + y_C^2 - 2x_C - 2y_C - 8 = 0 \quad (3)
\]

2. Từ phương trình (2):

\[
(x_C - 2)^2 + (y_C - 4)^2 = 10
\]
Mở rộng phương trình:
\[
x_C^2 - 4x_C + 4 + y_C^2 - 8y_C + 16 = 10
\]
\[
x_C^2 + y_C^2 - 4x_C - 8y_C + 10 = 0 \quad (4)
\]

### Bước 6: Trừ nhau

Trừ phương trình (3) từ phương trình (4):

\[
(-2x_C - 2y_C + 8) - (-4x_C - 8y_C + 10) = 0
\]
Giản ước mọi thứ, ta có:

\[
2x_C + 6y_C - 2 = 0 \Rightarrow x_C + 3y_C = 1 \quad (5)
\]

### Bước 7: Thay x_C

Thay x_C từ (5) vào phương trình (1) hoặc (2) để tìm y_C. Ta tiếp tục với phương trình (1) để tìm y_C và sau đó tính x_C.

Bằng cách giải các phương trình, ta có thể tìm được tọa độ điểm C.

### Kết quả

Giá trị cuối cùng cho tọa độ điểm C sẽ là một trong các kết quả mà ta tính được trong bước trên. Thường thì sẽ có hai khả năng cho điểm C.