Cho hình vuông ABCD tâm O. Gọi M, N là trung điểm của OA, BC. Chứng minh C, M, N, D nằm trên một đường tròn và DN > MC

Để chứng minh C, M, N, D nằm trên một đường tròn, ta cần chứng minh tứ giác CMND là tứ giác nội tiếp.

Ta có:
- Gọi I là trung điểm của CD. Khi đó, ta có IM // AB và IM = 1/2AB.
- Gọi E là giao điểm của MN và CD. Khi đó, ta có ME // OA và ME = 1/2OA.
- Vì MN là đường trung bình của tam giác OAB, nên ta có MN = 1/2AB.
- Vì ME // OA và ME = 1/2OA, nên ta có ME = 1/2AB.
- Vậy, ta có ME = MN.

Từ đó, ta có tứ giác CMNE là tứ giác cân (CM = CE và MN = ME). Khi đó, ta có góc CME = góc CNE.

Vì tứ giác CMND là tứ giác cân (CM = CD và DN = DM), nên ta có góc CDM = góc CDN.

Vậy, ta có góc CME = góc CNE = góc CDM = góc CDN.

Do đó, tứ giác CMND là tứ giác nội tiếp.

Để chứng minh DN > MC, ta có:
- Gọi x = DN và y = MC.
- Ta có DM = DN - MN = x - 1/2AB và CM = 1/2AB - MC = 1/2AB - y.
- Vì tứ giác CMND là tứ giác cân, nên ta có DM = CM.
- Từ đó, ta có x - 1/2AB = 1/2AB - y.
- Tương đương với x + y = AB.

Vì AB là cạnh của hình vuông ABCD, nên ta có AB = AD = BC = CD.

Từ đó, ta có x + y = AB = AD = BC = CD.

Vậy, ta có DN > MC.